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By Peter Steinke

Dieses moderne Lehrbuch ermöglicht aufgrund der ausführlichen Darstellung, der rechnergestützten shape und vieler Beispiele einen einfachen Einstieg in die Finite-Elemente-Methode (FEM). Nach einer Einführung in die mathematischen Grundlagen behandelt der Autor das Verfahren von Ritz und Probleme der Elastostatik. Im Bereich der Dynamik formuliert er das Schwingungsverhalten verschiedener Elemente ebenso wie deren Stabilitätsverhalten als Eigenwertproblem. Und bei den Feldproblemen geht er beispielsweise auf die Wärmeübertragung ein. Abschließend zeigt er die Möglichkeiten und Anwendungen der rechnergestützten Lernsoftware CALL_for_FEM auf.

In der vorliegenden four. Auflage werden erstmals die räumlichen Probleme der Elastostatik behandelt und Tetraederelemente eingeführt. Weitere Beispiele wurden eingefügt, und die Lernsoftware wurde verbessert.

Über die Internetadresse http://extras.springer.com/2012/978-3-642-29505-8 kann die Lernsoftware CALL_for_FEM heruntergeladen werden. Zahlreiche Programme, welche die FE-Probleme mit Hilfe der Computeralgebra symbolisch lösen, sind jetzt ohne Zusatzsoftware nutzbar. Die Handhabung der Lernsoftware wird mit Hilfe beigefügter movies erläutert.

Das Werk ist sowohl für Studierende als auch Ingenieure und Physiker geeignet.

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3 Das dyadische Feld In der Elastostatik sind Verschiebungsfelder u = u(x, y, z) von großer Bedeutung. F¨ ur die Berechnung der Dehnungen ist ein Ausdruck der Form ∇u notwendig: ∂ ∂ ∂ ex + ey + ez u ex + v ey + w ez ∂x ∂y ∂z ∂u ∂v ∂w ex ex + ex ey + ex ez + = ∂x ∂x ∂x ∂u ∂v ∂w ey ex + ey ey + ey ez + ∂y ∂y ∂y ∂v ∂w ∂u ez ex + ez ey + ez ez = ∇i uj = uj,i ∂z ∂z ∂z ∇u = (33) 30 2. Mathematische Grundlagen ∇u stellt ein dyadisches Produkt dar. Aus dem Verschiebungsfeld wird ein dyadisches Feld. In Matrizenform: ⎡ ∂u ∂x ∂u ∂y ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ∇uT = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ∂u ∂z ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v ∂z ⎤ ∂w ∂x ∂w ∂y ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ∂w ⎦ ∂z (34) Beispiel zum dyadischen Feld Gegeben ist ein Verschiebungsfeld als Vektorfeld: u = x3 + y ex + y 2 + x ey (35) F¨ ur dieses Verschiebungsfeld soll u ¨ ber die Beziehung ε = 1/2 (∇ u + u ∇) bzw.

N) δy (n) dx = 0 ∂y ∂y ∂y (64) Die zugeh¨ orige Euler-Lagrange’sche Differentialgleichung lautet [15, 28]: d ∂F − ∂y dx ∂F ∂y + d2 dx2 ∂F ∂y − . . 1 Diskretisierung des Funktionals Die Euler-Lagrange’sche Differentialgleichung l¨aßt sich nur in Ausnahmef¨allen l¨ osen. Daher diskretisiert man das Funktional, indem man die gesuchte Funktion y(x) durch eine N¨ aherungsl¨ osung yˆ(x) ersetzt [22]: yˆ = a1 ϕ1 (x) + a2 ϕ2 (x) + . . + an ϕn (x) (66) W¨ ahrend man das Funktional I[y(x)] als eine Funktion mit unendlich vielen Variablen ansehen kann, treten bei I[ˆ y(x)] endlich viele Variable a1 , a2 , .

Approximationsverfahren wie die FEM f¨ uhren u ¨ ber den Diskretisierungsprozeß auf eine endliche Anzahl von Freiheitsgraden, die in algebraischen Gleichungen auftreten. Diese haben in den hier betrachteten F¨ allen die Form: K u = F und stellen sich als lineare Gleichungssysteme dar. Die Koeffizientenmatrix K weist dabei folgende Eigenschaften auf: Symmetrisch: K = K T bzw. 8 angef¨ uhrte Matrix [34] besitzt die zuvor angef¨ uhrten Eigenschaften. 8. Eine symmetrische, sparse und positiv definite Matrix mit Bandstruktur und der halben Bandbreite b Die Gr¨ oße b stellt die halbe Bandbreite der Matrix dar.

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