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De plus, tout contrôle extrémal est de la forme u(t) = signe /\(t), où /\(t) est la dernière coordonnée du vecteur adjoint, qui vérifie l'équation différentielle /\(n l_ d1À(n-l) + ... + (-1)"a n /\ = O. En effet le vecteur adjoint vérifie p(t) = -p(t)A(t). - Si toute valeur propre de A est réelle, alors À(t) s'écrit sous la forme À(t) = L Pj(t)e'\J t , j=l où Pj est un polynôme de degré inférieur ou égal à ni 1, et où À 1, •• "À" sont les r valeurs propres distinctes de -A, de multiplicités respectives n 1, ••• ,n r.

PARTIE III Fonction valeur et équation de Riccati 1. 'l. 12) minimisant le coût quadratique CT (II) = x (T)T Qx (T) +10 T (lIx(t)ll~v + 1111 (t) lit) dt. 13) La fonction valeur ST au point x est la borne inférieure des coûts pour le problème LQ. 12. 9, et dans ce cas cette borne inférieure est un mmUTIum. Fonction valeur et équation de Riccati 57 2. 3), pour tout x E RI! 13). 15) De plus, pour tout t E [0, T], la matrice E (t) est symétrique, et 5 T (x) = (D)x. 13. En particuJîer le théorème affirme que le contrôle optimalu se met sous forme de boucle fermée ll(t) = K(t)x(t), où K(t) = U(t)-lB(t)TE(t).

9. Définissons la fonction H : H(X1P,U) = p(Ax + Bu) - ]R1I X Rit 1 2 (xTWx X IRlII -l- IR par + uTUu), en utilisant toujours la convention que p est un vecteur ligne de IRI! Alors les équations données par le principe du maximum LQ s'écrivent aH Ax +Bu, x = - 8p P= - aaHx = -pA +xTW, et aH =0, au li ! Condition nécessaire et suffisante d'optimalité: principe du maximum dans le cas LQ 55 puisque pB liT U O. Ceci annonce le principe du maximum général. Mais en fait ici dans le cas LQ on peut dire mieux: d'une part le principe du maximum LQ est une condition nécessaire et suffisante de minimalité (alors que dans le cas général c'est une condition nécessaire seulement), d'autre part il est possible d'exprimer le contrôle sous forme de boucle fermée, grâce à la théorie de Riccati (voir section suivante).

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