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By Giulio Cesare Barozzi

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A1 a0 )10 `e divisibile per 4 se e solo se o equivale alla divisibilit` a per 4 tale `e il numero 2a1 + a0 . Si verifichi che ci` del numero 10a1 + a0 , cio`e il numero costituito dalle ultime due cifre della rappresentazione decimale di n. 11 Si dimostri che n = (ak ak−1 . . a1 a0 )10 `e divisibile per 11 se e solo se tale `e il numero 10(a1 + a3 + . ) + (a0 + a2 + . ), dove la prima parentesi contiene la somma delle cifre decimali di n aventi indice dispari, la seconda parentesi contiene la somma delle cifre di indice dispari.

6 - Calcolo modulo m di una potenza con esponente naturale. Dato l’intero x, l’esponente naturale n e il modulo m ≥ 2, si calcola xn mod m. 0. x → X, n → N , m → M 1. 1 → Z 2. X mod M → X 3. 4 X mod M → X 4. stampare Z 5. fine. Si osservi (cfr. 1? assoluto. 16 Si verifichi che il teorema di Fermat (cfr. 3) pu` o essere formulato nel modo seguente: se p `e primo e a `e un arbitrario numero intero, allora ap − a `e multiplo di p. Se ne deduca l’enunciato equivalente: se n `e un intero > 2 per cui esiste un intero a tale che an − a non `e multiplo di n, allora n `e composto (cio`e non `e primo).

A xϕ(m) , quindi le classi [a x1 ], [a x2 ], . . , [a xϕ(m) ] coincidono, a meno dell’ordine, con le classi [x1 ], [x2 ], . . , [xϕ(m) ]. Moltiplicando tra loro tali classi . . 18 Il teorema di Eulero mostra che, se a `e primo rispetto a m, la congruenza ax ≡ 1 (mod m) ammette soluzioni in N∗ . Si definisce ordine di a modulo m il minimo dell’insieme {x ∈ N∗ | ax ≡ 1 (mod m)}. Se d `e l’ordine di a modulo m, si dimostri che d `e un divisore di ϕ(m). Suggerimento. Sia ϕ(m) = qd+r, 0 ≤ r < m; da aϕ(m) ≡ 1, aqd = (ad )q ≡ 1, si deduca ar ≡ 1, e finalmente r = 0 ragionando per assurdo.

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